確率限定の実例

ここでは，「日本人が黒髪であるということはほとんどの場合に真である」という例を考えて，前節で説明した確率限定を実際に行ってみる．さて，この命題は，「日本人」を表すファジィ集合$J$と，「黒髪の人」を表すファジィ集合$B$を導入すれば，

$$\mbox{($J$\ is $B$) is likely}$$ (3.8)

という形のファジィ確率限定命題で表すことができる．そしてこれは，さらに

$$\mbox{most $J$s are $B$s}$$ (3.9)

という形の傾向命題に書き換えられる．この傾向命題は内容的には，「ほとんどの日本人は黒髪である」ということを表している． さて式(3.9)の命題の真偽を実際に確かめるために実際に10人の人（$u_1,...,$ $u_{10}$の10サンプル）を成田にでも行って調べてみたとする（むろん10人では少なすぎるだろうが，問題の簡単のためにこう仮定する）．すると次のような「日本人」のファジィ集合$J$と「黒髪の人」のファジィ集合$B$が得られたとする（図3.1参照）．

	$u_1$	$u_2$	$u_3$	$u_4$	$u_5$	$u_6$	$u_7$	$u_8$	$u_9$	$u_{10}$
$\mu_J(u_i)$	0.2	0.4	0.8	1.0	1.0	0.6	0.2	0.0	0.0	0.0
$\mu_B(u_i)$	0.0	0.0	0.4	1.0	1.0	1.0	0.8	0.4	0.4	0.0
	0.0	0.0	0.4	1.0	1.0	0.6	0.2	0.0	0.0	0.0

図 3.1   「日本人」のファジィ集合$J$と「黒髪の人」のファジィ集合$B$

例えば， $\mu_J(u_3)=0.8,\mu_B(u_3)=0.4$となっているが，これは，$u_3$の人は日本人らしさが0.8，つまり，ほぼ日本人ではないだろうか（ひょっとしたら外国人の血が少し混じっているようにも思えるが）と思われることを示しており，またこの人の髪の色が黒いということが0.4程度いえることつまり黒っぽい髪をしているが黒ではない（例えば少し赤茶けた色など）をしていることを表している． さてここで$B$の$J$に対する相対シグマカウントを実際に計算すると次のようになる．

(3.10)

さてここで，ファジィ限量作用素mostを図3.2のようなファジィ数として適当に定義すれば，

$$\mu_{\mbox{most}}(0.76)=0.72$$ (3.11)

と計算されて，これが，最初の確率限定命題「日本人が黒髪であるということはほとんどの場合に真である」の真理値となる．

図 3.2   ファジィ限量作用素mostの例