FI論理の量子化定理

FI論理のもう一つのおもしろい性質として，FI論理が基本的に4値に量子化されるということが証明されている． FI論理では，$U$と$C$を結ぶ直線上の一つのFI真理値 $\alpha=[1-\alpha_p,\alpha_p]$を考えたとき，任意のFI真理値$X=[x_n,x_p]$に対する，次のような$X^\alpha$を$X$を$\alpha$で量子化した値として定義する．

(6.3)

これを図6.6上でみると，$X^\alpha$は$X$を$\alpha$によって$1,0,U,C$の4つのどれかにカテゴリ分けしたことになる．このような量子化定理を用いると，任意のFI論理上の論理演算結果の$\alpha$による量子化は，論理演算される前の入力をそれぞれ
の量子化したものの論理演算に等しくなる．即ち例えば，

$$(X\land Y)^\alpha =X^\alpha \land Y^\alpha$$ (6.4)

などが成立することを示している．これは，タイプ1ファジィ集合を$\alpha$カットすることにより，真理値が1と0の2値に量子化されたことに対応する概念であると考えられる．

図 6.6   FI真理値の量子化

さらに次のような解釈も可能であろう．つまり，$x_n$は「真である必然性が$x_n$である」ことを表していると考えられるが，これは必然性と可能性の様相性から，「真ではない（偽である）可能性が$1-x_n$である」ことを表しているとも解釈される．もちろん「真である可能性は$x_p$である」から，これらからFI真理値$[x_n,x_p]$は $\{偽である可能性,真である可能性\}$を台集合とするファジィ集合として図6.7の上図のように表せるであろう．ここで，式(6.5)の量子化はこのファジィ集合を$\alpha_p$によって$\alpha$カットして，図6.7の下図の4パターンのどれかに分類したことにあたる．ここで，図6.7の下図の4パターンは，確かに，それぞれ，1は真である可能性しかない，0は偽である可能性しかない，$U$は真である可能性もあるし偽である可能性もある（つまり，わからないから無知），$C$は真である可能性も偽である可能性もない（つまり，真偽の決定のしようがないから矛盾）を表しているから，内容的にも頷ける．

図 6.7   FI真理値の量子化の$\alpha$カットによる解釈

FI論理に関しては，まだ発表されたばかりであり，十分な研究がしつくされていないが，このように基本的に4値である論理ファジィ理論を効果的に応用に用いる場合に非常に重要な基本的アイディアを与えていると考えられる．